理论上而言，客户到银行注销借记卡，银行是无权利拒绝的，现实中不予办理的常见推辞说法也就是：这张卡，如果卡内没有资金，长期不用会自动转为睡眠卡，睡眠卡一定的时间后银行会自动跑批注销掉，所以你无需在办理注册注销手续。
如果这张卡没有任何的绑定业务，确实如银行工作人员所说，一定的时间后银行会自动把你这张卡注销掉，这主要是因为银行系统的承载量也是有限的，随着用户、数据的增多，银行要嘛扩容服务器，要嘛只能清理原有的数据库数据。所以长期不用，无任何余额，没有任何绑定业务的无效银行卡就会定期被清除。
但假设你坚持要销卡，银行柜面人员正常也不会拒绝，如果柜面确实不给你办理注销，这说明你这张卡本身存在一定的问题（其实具体什么问题，柜面人员肯定有告诉过你，你根本无需在提问的），常见的几种情况如下：
贷款账户卡
如果你在银行有办理贷款，该卡为银行的贷款指定的代扣卡，那么在贷款结清之前，这张卡是不可能给你注销的。
绑定第三方业务
如果这张银行卡有绑定其他第三方业务，比如股票账户、基金账户或者代发工资业务等等，那么需要先解绑才可以注销，但是部分解绑业务要第二天才生效，比如建行的代发工资业务解绑第二天才会生效，所以你当天是无法销卡的，需要第二天再跑一趟银行。
总结
按照发改委以及银监会2017年发布的《关于取消和暂停商业银行部分基础金融服务收费的通知》，目前每家商业银行都要给予用户免除一个账户的年费以及小额账户管理费，故而如果你在同一家银行有多张卡，但只使用其中一张，那么要嘛去银行指定免除正在使用的这张卡片，要嘛就把其他银行卡都当场注销了。个人建议是当场都注销了，杜绝一切不必要的风险，只要你坚持，符合条件，任何一家银行都无权拒绝你销卡。
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