首先，不管咋说亲戚是来给你拜年的，这是对你们家的一种尊重，这次造访他的帽子落在你家里，作为主家你理应负责起邮寄的费用，这是你对别人遗留物件的处理态度。
其次，一顶帽子的邮费能有多贵？何至于要纠结于到付还是垫付？一顶帽子再重也超不出1公斤，这个重量范围内，你全国邮寄都超不过20块钱，为了这20块再让亲戚自己掏，说不过去吧。
最后，题主的问题里有提到，你的亲戚现在每天都让你给他寄帽子过去，这说明他着急要用。从这句话的说法也不难看出，题主对于亲戚这种“催促”是有所反感的，或者说你觉得一顶帽子落你家就落你家吧，根本没必要再来跟你要。这种想法和态度本身就有问题，一般来说得知别人的东西落在你家里，你应该第一时间与对方取得联系，然后商量一下归还的办法。这是你应该做的，分内之事，无可厚非。
值得一提的是，或许一顶帽子并不值钱，可能和邮费差不多，但是不管他的价值是多少，只要它是别人落在你这的，你都应该第一时间想办法给人“还”回去，而不是纠结邮费问题。
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